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¿Se puede ver Mallorca desde Mataró?

28 d’oct. 2019, 6:04 publicada per Diego Rodríguez   [ actualitzat el 26 de maig 2020, 2:21 ]
Mallorca sobre la cúpula del Observatorio Fabra, otoño 2019, por Marc Bret, especialista en paisajismo lejano.
Simulación del perfil de Mallorca visto desde la calle de la Plana Sita de Mataró, a 307 metros de altura. No solo es visible el pico del Puig Major, a unos 200 kilómetros de distancia, sino también otras cumbres próximas, algunas incluso más lejanas.

Dicen que desde el mirador del Tibidabo, a 500 metros de altura, en los días más transparentes días de primavera se ve perfectamente Mallorca. Bueno, no todo Mallorca. Se puede ver la Serra de Tramuntana, con su decena de picos de más de un kilómetro de altura entre los que destaca el Puig Major, de 1445 metros. Una mole imponente, sin duda. Pero conseguir verla no es un logro menor: ¡Se encuentra a 188 kilómetros de distancia!

¿Podría atibarse también desde Mataró? Si no queremos irnos muy lejos del término municipal, tenemos el Corredor, que se eleva a 644 metros y, un poco más lejos ya en Sant Celoni, el Montnegre, que alcanza los 757 metros. Pero intentemos calcular si desde una cota de 300 metros, en el replano en el que termina la calle de la Plana Sita, por ejemplo, se podría ver el pico del Puig Major, a 198 kilómetros de distancia mirando en dirección 351 grados, casi al sur.

Usaremos la fórmula más simple para calcular a qué distancia máxima sería visible. Multiplicaremos 3,57 por la raíz cuadrada de la suma de nuestra altura y la mínima que pretendemos ver, 1300 metros en este caso. El pico no debería ser visible a más de 143 kilómetros de distancia. Entonces ¿cómo sería posible ver, no solo el pico más alto, sino la Serra de Tramontana a casi 200 kilómetros?

La respuesta es que necesitaremos refracción. Mucha refracción. Aunque se considera que en condiciones normales la existencia de la atmósfera aumenta en un 7% la distancia máxima visible, en la práctica los valores pueden diferir mucho: Desde el mínimo sin atmósfera hasta mucho más lejos.

Pero la atmósfera debe favorecer no sólo la refracción, sino también la propagación de la luz. Es decir, debe haber mucha atmósfera y poca agua. Como cuando soplan vientos muy secos del oeste desde el interior disminuyendo la humedad ambiental. También, es muy importante que la luminosidad sea baja, al alba o al poco de haber salido el sol ya que si este astro está alto, la dispersión de la luz por la atmósfera coloca el color azul del cielo de por medio.

Mientras en Barcelona hay que esperar a las primeras horas del día para tener la posibilidad de ver Mallorca, desde la isla se puede ver Cataluña e incluso los Pirineos a la puesta del sol. De hecho, hay imágenes muy buenas de Montserrat tomadas desde Mallorca.

El caso es que la refracción atmosférica no tiene por qué ser un enemigo de nuestras observaciones. Podemos usarla para disfrutar de paisajes más allá del horizonte.

Para saber más

udeuschle.de, simulador de panoramas
Webs consultadas el 2020-05-15.


Las matemáticas detrás de los números

Distancia máxima visible sin atmósfera

Distancia lineal d

En el caso más simple, conocemos la hipotenusa, formada por la distancia r+h desde el centro de la Tierra hasta nuestros ojos, y también conocemos uno de los catetos, r, formado por la distancia desde el dentro de la Tierra hasta la superficie.

Entonces, el otro cateto d será la distancia de nuestros ojos hasta el punto rasante a la circunferencia. Visto así, la distancia al horizonte se puede calcular muy fácilmente sin más que aislar d.



Distancia sobre la tierra s

Calcular la distancia sobre la superficie curva de la Tierra es un poco más complicado, pero nos ayudará recordar que la cuerda de un trozo de circunferencia s es el producto del radio r por el ángulo θ.

Como quiera que en el triangulo PHO tenemos


entonces,




Hoy en día, calcular la inversa de una función trigonométrica no es ningún problema si se dispone de calculadoras o de tablas. Pero si no se dispone, se puede echar mano de una serie de Taylor. Así, una función continua como la del coseno puede aproximarse como un polinomio


Podemos imaginar que θ será pequeño, así que bastarán dos términos para aproximar el coseno. Despejamos la r del denominador y aprovechamos que normalmente h será muy pequeño en relación a r para simplificar la fracción de la derecha, multiplicando arriba y abajo por (1+h/r) para hacer tan patente esta disparidad que podamos considerar nulo el denominador.


Desde aquí es fácil aislar θ:


y por tanto, el arco s se podrá aproximar como:



Esta aproximación nos permite calcular rápidamente la distancia s sobre la superficie visible desde una altura h. Con s en kilómetros y h en metros,


No hay que calcular mucho para comprobar que desde una altura de 300 metros no deberíamos ver objetos que se encuentren sobre la superficie a más allá de 62 kilómetros. Si nos conformáramos sólo con intuir el pico del Puig Major, nuestro alcance no debería llegar más allá de los 149 kilómetros. Y sin embargo, se avista una buena porción de la sierra de Tramuntana. ¿Cómo es posible?

Distancia máxima visible con atmósfera

Como en el caso anterior, aquí se trata de calcular la distancia recorrida sobre la superficie por un rayo de luz, pero ahora curvo.

Una forma sencilla de abordar el problema es considerar que esa curvatura se corresponde con la de una circunferencia tangente a la superficie de la tierra y al mismo tiempo al punto de observación P. Podemos también considerar B como la base del punto de observación, X como el punto situado en el horizonte y O como el centro de la Tierra.

El triángulo POQ queda así bien definido, con PQ=R representando el radio del rayo de luz refractado, OO=h+r y QO=R-r. El cálculo de α se puede acometer entonces usando la regla del coseno.



Aplicando la identidad cos(π−α)=−cos(α) y aislando, tenemos:


y como en el caso anterior, la longitud del arco será el producto del radio r por el ángulo, en este caso, α. Es decir;


Desde luego, no es una expresión fácil de manipular, pero recordando que h/r<<1, entonces


y que α será un ángulo muy pequeño, por lo que 


Podemos aproximar



Así que, como antes,



Comparándolo con el resultado sin atmósfera que vimos antes:

queda claro que si el radio R del planeta ficticio se hace muy grande, ambas ecuaciones serán equivalentes.

Ahora, la pregunta del millón:¿Qué sería un buen valor para R? Desde luego, depende de cosas como temperatura, presión y humedad de la atmósfera, pero si hacemos caso a los topógrafos que vienen lidiando con estos problemas desde hace más de un siglo, un buen valor de r/R sería 0,13.

Usándolo en fórmula, tendríamos:

Es decir, en promedio deberíamos ver un 7% más lejos gracias a que la luz se curva al atravesar la atmósfera. Con sf en kilómetros y h en metros,



Edición de fórmulas LaTex realizada en atomurl.net/math/ con TeX Equation real-time Renderer: Image.